Правильно: в дальнем зарубежье.
Правильно: Союз дизайнеров России. В названиях организаций с большой буквы пишется первое слово и входящие в состав названия имена собственные.
Правильно: Союз машиностроителей России.
Слова ближнее зарубежье и дальнее зарубежье следует писать строчными.
К сожалению, у нас нет таких данных. Попробуйте обратиться с этим вопросом в Минобрнауки России.